(수학) 사선공식, 좌표평면, 삼각형 넓이 구하기

목차

1. 사선공식

2. 공식 암기 방법

3. 문제풀이

4. 사선공식 유도방법A (좌표평면 넓이 활용)

5. 사선공식 유도방법B (피타고라스의 정리, 점과 직선 사이의 거리 활용)

6. 맺음말

 

 

사선공식을 활용한 삼각형의 넓이 구하기

 

 

아이가 선행으로 공통수학을 배우고 있는데, 삼각형의 넓이를 사선공식을 활용해서 쉽게 풀었다. 그런데 공식이 매우 낯설어서 (아마도 기억이 나지 않아서...) 어떻게 유도가 되었는지 궁금증이 생겼고, 유도를 통해 공식을 확인해 보았다.

1. 사선공식

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사선공식은 좌표평면에서 세점이 주어졌을 때, 세점으로 만들어지는 삼각형 ABC의 넓이를 쉽게 구할 수 있는 공식이다.

공식은 각 점을 시계방향으로 또는 반시계방향으로 x좌표와 y좌표를 위/아래로 순서대로 적어주고, 처음에 입력한 좌표를 반복해서 적어준다.

이후, 사선방향으로 동일한 방향성을 가지는 x1y2, x2y3, x3y1을 더하고, y1x2, y2x3, y3x1을 더한 후, 서로의 값의 차를 2로 나누면 삼각형의 넓이가 바로 나온다.

세점 좌표와 사선공식표

 

 

2. 공식 암기 방법

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i) 세점의 좌표를 순서대로, 적어준 후, 처음 입력한 좌표값을 한 번 더 써준다.

ii) X좌표는 위칸에, y좌표는 아래칸에 적어준다.

iii) 위에서 아래로 내려오는 사선 방향의 값을 곱한 후, 더해준다. +(x1y2+x2y3+x3y1)

iv) 아래에서 위로 올라가는 사선 방향의 값을 곱한 후, 빼 준다. -(y1x2+y2x3+y3x1)

v) 위의 값을 양수가 되도록 절대값을 취한 후, 2로 나누어서, 삼각형의 넓이를 구한다.

 

그러면, 다음의 식이 나온다.

 

3. 문제풀이 예시

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사선공식표를 활용하여, 문제풀이를 하면, 아래와 같이 칸을 채울 수 있고,

 

 

삼각형이 존재하지 않는다는 것은 삼각형의 넓이가 0과 같다는 의미이고,

사선공식표를 활용하여, 문제풀이를 할 수 있다.

 

4. 사선공식 유도A (좌표평면 넓이 활용) 

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사선공식은 어떻게 유도할 수 있을까?

사선공식을 유도하기 위해, 초등학교 6학년 때 배운 삼각형의 넓이를 구하는 방법을 이용해보았다.

삼각형 ABC의 넓이(S)는 직사각형(주황색)에서 (Sa+Sb+Sc)을 빼 준 것과 일치한다.

그럼 각각 도형의 넓이를 구해보자.

직사각형의 가로는 (x3-x1), 세로는 (y3-y2) 이므로, 직사각형의 넓이는 (x3-x1)∗(y3-y2) 가 된다.

각각의 삼각형의 넓이는 다음과 같다.

 

 

파란색 항의 부호를 +로 변경하면, 다음과 같이 바꿀 수 있고,

 

동일한 항끼리 묶어주면, 아래와 같이 구분할 수 있다.

 

상기 내용으로 덧셈/뺄셈을 해주면, 아래의 항만 남게 된다.

 

5. 사선공식 유도방법B (피타고라스의 정리, 점과 직선 사이의 거리 활용)

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6. 맺음말

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공식 유도는 다항식의 개수가 많아져서 복잡해 보일 수도 있지만, 손으로 직접 써가면서, 이해를 해본다면, 다항식에 대한 친근감을 높일 수 있다. 또한, 문제 풀이 시, 이해한 공식을 활용한다면, 좀 더 쉽게 수학에 접근할 수 있지 않을까 한다. 수학은 답은 하나지만, 풀이 방법은 다양하기에 다른 방법으로 풀이를 해본다면, 그만큼 사고력의 깊이와 크기가 커지지 않을까 한다.